Nach einer Zeichnerlehre in einer großen Maschinenfabrik in Elbing/Ostpreußen wurde Alfred Arndt im Ersten Weltkrieg dienstverpflichtet und war 1916 als Bauführer in Danzig tätig. Zwischen 1915 und 1918 schloss sich Arndt der Wandervogelbewegung an. Zwischen 1919 und 1920 besuchte er die Gewerbeschule in Elbing und studierte bis 1921 an der Königsberger Kunstakademie (Aktklasse). Zugleich nahm er Unterricht bei dem Königsberger Maler Robert Budzinski.
Am Staatlichen Bauhaus in Weimar und am Bauhaus in Dessau studierte er von 1921 bis 1926. 1921 belegte er in Weimar den Vorkurs bei Johannes Itten und den Unterricht bei Paul Klee, Dora Wibiral und Dorothea Seeligmüller. Von 1922 bis 1924–1925 war er in der Wandmalereiabteilung bei Wassily Kandinsky. Am 17.4.1924 legte er die Gesellenprüfung vor der Handwerkskammer Weimar ab. Von 1925 bis 1926 war er am Bauhaus Dessau in der Wandmalereiabteilung bei Hinnerk Scheper. 1927 heiratete Arndt die Bauhaus-Studentin Gertrud Hantschk. Bereits ab 1926 war Arndt als freier Architekt in Probstzella, Thüringen, tätig, wo er den Bau des Haus des Volkes im Auftrag von Franz Itting vom Architekten Klapproth übernahm und ihn 1926/27 im Sinne des Neuen Bauens abänderte und inklusive Innenausbau und Möblierung fertigstellte.
1929 wird er von Hannes Meyer an das Bauhaus Dessau zurückgeholt und von ihm als Jungmeister zum Leiter der Ausbauabteilung berufen, der die drei Werkstätten Tischlereiwerkstatt, Metallwerkstatt und Wandmalereiabteilung unterstanden. Von 1930 bis 1931 leitete Arndt die Abteilung Bau und Ausbau, in der die Architektur- und die Ausbauabteilung zusammengefasst wurden. Von 1931 bis 1932 war er Lehrer in Ausbaukonstruktion, Darstellender Geometrie und Perspektive. 1931 wurde seine Tochter Alexandra geboren.
Arndt verließ das Bauhaus 1933 und ging erneut mit seiner Familie nach Probstzella, wo er als Reklamegrafiker und Architekt arbeitete. 1937 kam der Sohn Hugo zur Welt. Aus Solidarität zu Franz Itting jr, Sohn von Franz Itting, dem Erbauer des Haus des Volkes, trat Arndt 1937 in die NSDAP ein, Voraussetzung für eine Rückholung von Franz Itting aus dem KZ-Bad Salza. Danach wurde er gegen seinen Willen zum Propagandaleiter für Probstzella ernannt, eine Tätigkeit, die ihm wegen mangelndem Einsatz bald wieder entzogen wurde. Bis 1945 war Arndt für private Bauherren, Gewerbe-und Industrieunternehmen in Südthüringen und Oberfranken tätig. Von 1936 bis 1940 war der ehemalige Bauhäusler Konrad Püschel sein Mitarbeiter.
Nach 1945 arbeitete Arndt für drei Jahre als Baurat in Jena. In dieser Zeit bemühte er sich zusammen mit Wassili Luckhardt, Georg Neidenberger und Joost Schmidt um die Neugründung des Bauhauses in Weimar. 1948 zog Arndt mit seiner Familie in die westliche Besatzungszone nach Coburg und anschließend nach Darmstadt. Hier wirkte er am Aufbau des Bauhaus-Archivs mit und führte seine Tätigkeit als Architekt mit dem Schwerpunkt Industriebau bis zu seinem Tod 1976 fort.
